Фамилия Песчанкий — редкий случай, когда написание подсказывает, а не запутывает. Ударение, скорее всего, на втором слоге: Песча́нкий. Главное, что бросается в глаза, — суффикс -к- перед окончанием -ий. Это не стандартная фамилия на -ский, образованная от географического названия, а её более редкая разновидность. В русской ономастике фамилии на -цкий и -ский часто путали, но форма с -к- могла возникнуть двумя путями.

Первый и самый вероятный вариант: основа Песчанк- восходит к слову «песчанка». Так в разных говорах называли песчаное место, песчаную почву или даже речку с песчаным дном. Человек, получивший прозвище Песчанка, мог жить на таком участке или происходить из деревни с похожим названием. Суффикс -ий здесь — притяжательный, то есть «Песчанкий» буквально означает «сын Песчанки». Модель образования та же, что у фамилий Ти́хонкий, Ма́ленький, Ско́рбкий: от прозвища на -а/-ка.

Второй путь — через искажение топонимической фамилии. Если предка звали, например, Песчанский (от названия села Песчанка или Песчаное), то при записи в документах суффикс могли упростить до -к-. Такое случалось в южнорусских и украинских говорах, где -ск- переходило в -цк- и далее в -к- (сравните: «сказать» и «ка́зать»). Подтверждением служит то, что фамилия Песчанкий встречается в основном в регионах, граничащих с Украиной, — в Белгородской, Воронежской областях, на Кубани.

Исходное слово «песок» дало множество однокоренных фамилий: Песчанов, Песчаненко, Песков, Песковой. Песчанкий стоит в этом ряду особняком из-за своего нестандартного суффикса. Если ваш предок носил такую фамилию, он, скорее всего, был крестьянином или казаком, жившим на песчаной земле, — небогатой, но привычной для хлебопашества. Никакого отношения к «песчанке» как к болезни или сыпучей смеси фамилия не имеет.

Других версий, например, от тюркских корней или от личного имени, строить не приходится: слово «песок» и его производные слишком прозрачны для носителя русского языка, и фамилия явно сложилась в славянской среде.