Фамилия Плетяная звучит как прилагательное, и это не случайно: она принадлежит к относительно немногочисленной, но выразительной группе русских фамилий с суффиксом -ая. Такие формы в чистом виде закрепились в основном на юге России, в частности на Кубани и в украинских губерниях, где притяжательные прилагательные становились фамилиями напрямую, без перехода в -ов или -ин. В северных и центральных областях та же основа, скорее всего, превратилась бы в Плетянов или Плетянин.

Корень «плет-» прозрачен и отсылает к ремеслу плетения. Плетяным могли прозвать мастера, который делал корзины, лапти, плетни или рыболовные снасти. Но не исключён и переносный смысл: в говорах «плетёный» иногда обозначало человека витиеватого, путаного в речах или, наоборот, ловкого, «сплетающего» интриги. Вторая версия, однако, менее вероятна для фамилии — прозвища по профессии давали чаще и охотнее.

Интересно, что фамилия Плетяная могла возникнуть и как матроним — по матери. Если женщину в семье звали Плетяной (например, за её мастерство или за характер), то её дети могли получить фамилию по ней, что в патриархальном обществе случалось реже, но фиксируется в документах XVII–XVIII веков. В таком случае суффикс -ая указывает прямо на женский род, без посредничества отчества.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Плетнёв, Плетенёв, Плетнёва — показывает, что Плетяная стоит несколько особняком. У неё нет уменьшительного суффикса -нёв или -енёв, она более прямая и краткая. Эта лаконичность может говорить о более позднем оформлении фамилии, когда прилагательное уже не переделывали в патроним, а оставляли как есть.

По географии фамилия встречается рассеянно, без явного гнезда, что типично для ремесленных прозвищ — носители разъезжались по ярмаркам и селениям. В метрических книгах XIX века Плетяные изредка попадаются в Воронежской и Харьковской губерниях, что подтверждает южнорусский след.

В итоге: перед нами фамилия-прозвище по занятию, скорее всего, от человека, чьим ремеслом было плетение. Женское окончание -ая — не ошибка, а живая грамматическая форма, которая в некоторых регионах стала фамильной нормой.