Фамилия Побойная — яркий пример того, как прозвище, данное за манеру поведения или склонность к определённым действиям, закрепилось в родовом имени. В её основе лежит глагол «побить» или существительное «побои». Человек, получивший такое прозвище, мог быть драчуном, задирой или, наоборот, тем, кого часто били. В народной речи слово «побойный» имело и другое значение — «бойкий», «решительный», «умеющий постоять за себя». Так что предок-носитель фамилии мог слыть не обязательно агрессором, а просто человеком с крутым нравом, которого лучше не задевать.

С точки зрения словообразования фамилия стоит особняком. Типичные русские фамилии на -ов/-ев, -ин образованы от притяжательных прилагательных (чей? — Побойного сын → Побойнов). Вариант Побойная — это субстантивированное прилагательное в форме женского рода, что указывает на иной механизм возникновения. Скорее всего, это фамилия из круга «семейных прозвищ» или «уличных фамилий», которые в ряде регионов (особенно на юге России, в Украине и Беларуси) фиксировались в документах именно в такой форме, без перехода в стандартный суффикс. Встречается также мужской вариант Побойный, но женская форма могла закрепиться, если прозвище относилось к главе семьи — вдове или матери, или если в ревизских сказках запись вели по материнской линии.

Географически фамилия редкая, но встречается в Воронежской, Ростовской областях и в Краснодарском крае — то есть в зоне активного переселения и формирования казачества. Там прозвища нередко давали по характеру, и «побойный» казак — вполне типичный образ. В словарях фамилию не фиксируют как древнюю дворянскую, что подтверждает её народное, «уличное» происхождение.

Интересно, что фамилия Побойная могла возникнуть и от топонима — названия деревни или урочища Побойное (например, от места, где происходила битва, «побоище»). Однако в таком случае логичнее было бы ожидать фамилию Побойский. Поэтому версия с прозвищем остаётся основной: ваш предок был человеком бойким, драчливым или, что вероятнее, просто получил меткое уличное прозвище, которое со временем стало фамилией его потомков.