Фамилия Побожакова — это женская форма фамилии Побожаков, а та, в свою очередь, произошла от прозвища Побожак. В основе лежит устаревшее прилагательное «побожный», то есть «живущий по-божьи», набожный, благочестивый. Так в старину могли назвать человека, чей образ жизни и характер отличались особым почитанием веры. Прозвище закреплялось за ним как основное именование, а потомки уже получали отчество-фамилию Побожаков — буквально «сын Побожака».

Суффикс -ак в прозвище характерен для северных и сибирских говоров, он придаёт слову разговорный, бытовой оттенок. Подобным образом образованы и другие фамилии от прозвищ с этим суффиксом — например, Добряк, Весельчак, Горчак. Модель простая: основа прилагательного + -ак, и уже от этого прозвища через стандартный русский суффикс -ов строится фамилия.

Поскольку прозвище Побожак встречается редко, фамилия осталась довольно локальной. Известен конкретный носитель: Андрей Демидович Побожаков, родившийся в 1889 году в селе Борисовичи Могилевской губернии. Его имя внесено в Книгу памяти Кемеровской области — это значит, что род Побожаковых имел отношение к переселенческому движению на восток, в Сибирь, что было типично для крестьянских семей конца XIX — начала XX века. Могилевская губерния — территория нынешней Беларуси, и это указывает на возможные белорусские корни фамилии, хотя само слово «побожный» общеславянское.

В целом фамилия Побожакова — редкий пример того, как прозвище, данное по душевному качеству, а не по ремеслу или внешности, сохранилось в неизменном виде через несколько поколений.