Фамилия Побожаков происходит от прозвища Побожак, которое, скорее всего, связано с устаревшим прилагательным «побожный». Смысл этого слова — «живущий по-божьи», то есть человек набожный и благочестивый. Так на Руси могли назвать того, кто строго соблюдал религиозные обычаи, часто посещал церковь или отличался кротким нравом.

Прозвище закреплялось за человеком как самое употребительное именование, а затем, по обычной для русского языка модели, легло в основу фамилии. Суффикс -ов в конце указывает на принадлежность: Побожаков — это «сын Побожака» или «из рода Побожаковых». Потомок человека с таким прозвищем со временем и получил фамилию Побожаков.

Интересно, что прозвища с корнем «бож-» встречались не только как личные характеристики, но и как своего рода обет или пожелание. В некоторых говорах «побожным» называли также человека, давшего обет Богу, например, посвятившего себя благочестивым делам после тяжелой болезни или какого-то события. Поэтому за прозвищем Побожак могла стоять не просто черта характера, а конкретная история жизни.

Сама фамилия довольно редкая и имеет отчетливый юго-западный след. Например, в Книге памяти Кемеровской области упоминается Андрей Демидович Побожаков, родившийся в 1889 году в селе Борисовичи Могилевской губернии. Эта запись показательна: она связывает фамилию с территорией современной Беларуси, откуда в конце XIX — начале XX века многие крестьяне переселялись в Сибирь в поисках земли. Форма с окончанием -ов при этом типична для великорусской традиции, что говорит о давней ассимиляции рода в русской среде.

Слово «побожный» сегодня почти вышло из употребления, и оттого фамилия звучит архаично. Но именно эта архаика сохранила для нас память о том, что предок носителя фамилии был человеком верующим, возможно, даже глубоко религиозным, и окружающие выделяли его за это среди прочих.