Фамилия Початский — редкая и неочевидная с точки зрения корня. Большинство фамилий на -ский в русской традиции образованы от географических названий (сел, рек, урочищ), и Початский, скорее всего, не исключение. Первое, что приходит в голову, — связь с топонимом Початки или Початок. Такие названия могли дать небольшому хутору или деревне из-за формы участка: «початок» в говорах означал начало, зародыш, первый росток. Человек, владевший землей или живший в таком месте, получал прозвище Початок, а его потомки — фамилию Початский.

Есть и другая, более прозаическая версия. В русских диалектах «початок» — это кукурузный початок, а также веретено с намотанной пряжей. Фамилия могла закрепиться за прозвищем ткача, прядильщика или крестьянина, выращивавшего кукурузу. Однако для центральной России кукуруза — культура поздняя, поэтому эта версия правдоподобна только для южных регионов (Украина, Кубань) или для более позднего времени, когда фамилии уже закрепились.

В отличие от типичных фамилий на -ский, которые часто носили дворяне или духовенство (по названиям поместий или церковных приходов), Початский выглядит демократичнее. Суффикс -ск- здесь не указывает на знатное происхождение — он мог появиться уже в XIX веке, когда крестьянам при переписях давали фамилии по прозвищу отца, оформляя их под панскую или городскую моду. Окончание -ий типично для польской или западнорусской традиции, что намекает на возможное происхождение из бывших земель Речи Посполитой.

Географически фамилия встречается точечно: в Беларуси, на западе Украины и в приграничных областях России. Сравните с однокоренными Початков, Початкин — они образованы проще, через суффикс принадлежности, и встречаются чаще. Початский же — более «шляхетская» форма, хотя по сути могла принадлежать простому землепашцу или ремесленнику.

Что касается известных носителей, фамилия не громкая и не связана с историческими персонажами, попавшими в энциклопедии. Это типичная фамилия «с места» или «с прозвища», сохранившаяся в небольшом роду. Если вы Початский, ваши предки, скорее всего, жили в хуторе с названием вроде Початки или занимались прядильным делом, а фамилию получили по отцовскому прозвищу при оформлении документов в XIX веке.