Фамилия Подаш — редкая и неочевидная для русского уха. В ней нет привычных фамильных суффиксов -ов, -ин или -ский, что сразу наводит на мысль: либо перед нами украинская, белорусская или польская модель, либо фамилия застыла в форме прозвища без дополнительного оформления.

Самый прямой путь — разобрать имя или прозвище Подаш. В западнорусских и украинских говорах «подаш» могло быть формой от «подати» — дать, подать. Но это не глагол, а скорее сокращение от имени Податий или Податко. В старину существовало крестильное имя Феодосий (Богом данный), которое в народном произношении давало варианты Федос, Дось, а иногда — Подаш. «По-» здесь могло прирасти как часть имени (сравните: Потап от Феодота). То есть Подаш — это просторечная форма канонического имени, а фамилия образована от неё без дополнительных суффиксов, что характерно для украинской и польской традиции (ср. Гавриш, Дениш, Иваш).

Есть и вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование. В некоторых диалектах «подаш» — человек, который подаёт, раздатчик. В крестьянском быту так могли прозвать того, кто на общих работах (например, на покосе или стройке) раздавал инструмент или еду. Но эта гипотеза слабее, потому что прозвище от глагольной формы в повелительном наклонении («подай!») встречается в фамилиях типа Подай, Подаев, а форма «подаш» скорее указывает на имя собственное.

Географически фамилия Подаш встречается в основном на западе: в Беларуси, на Украине, а также в Польше (Podasz). В России она редка и чаще всего фиксируется в областях, граничащих с Беларусью (Смоленская, Брянская). Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходят из западнорусских или украинских земель, а родоначальника звали просто Подаш — сокращённо от Феодосия.

Сравните с однокоренными: Подашный, Подашевский — те же корни, но с разными суффиксами. Подаш стоит особняком: он не «чей-то» (сын Подаша), а сам Подаш. Такие фамилии в русской среде часто меняли на более привычные — Подашов или Подашев, но исходная форма сохранилась у тех, кто не попал под канцелярскую унификацию.