Фамилия Погорённая — довольно редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от распространённых фамилий на -ов/-ев, она образована по иной модели, что сразу указывает на её возможную географическую или социальную привязку.

Ключ к разгадке — суффикс -ённ- и окончание -ая. Такие фамилии (Погорённая, Погорёный, а также Погорелов, Погорельцев) восходят к одному корню — «гореть». Основа «погоре(н)» связана с состоянием после пожара. В старину «погорельцами» или «погорелыми» называли людей, чьи дома сгорели, или тех, кто жил на месте бывшего пожарища. Суффикс -ённ- в данном случае — это притяжательная или характеризующая форма, типичная для южнорусских и украинских говоров (сравните: Долгая, Кривая, Погорёная). То есть Погорённая — это не «дочь Погорёного», а скорее «женщина, пострадавшая от пожара» или «живущая на погорелом месте». Со временем прозвище закрепилось как фамилия и передалось потомкам.

Вероятнее всего, фамилия сформировалась в среде крестьян или посадских людей, где пожары были частым бедствием. Прозвище давали не в насмешку, а как примету: «Иван, да тот, что погорел в прошлом годе». В письменных источниках фамилия могла фиксироваться с разными окончаниями: Погорёный (для мужчины) и Погорённая (для женщины или как родовое имя всей семьи в форме прилагательного — характерно для южных областей России и Украины). Написание через «ё» принципиально: ударение падает на второй слог, и это отличает фамилию от возможной, но маловероятной связи с глаголом «погонять».

В современных справочниках (например, в работах Б. Унбегауна) фамилии с таким суффиксом разбираются как адъективные, то есть перешедшие в разряд фамилий из прилагательных. Географически Погорённые встречаются в основном в Курской, Белгородской областях и на востоке Украины — именно там распространена модель фамилий на -ый/-ая, -ой. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были из тех мест. Других версий, связывающих фамилию с личным именем или профессией, не существует — корень здесь прозрачен, а история фамилии — это история беды, которая стала семейным именем.