Фамилия Поликарская — редкий случай, когда географическое происхождение почти наверняка перевешивает личное имя. Женская форма Поликарская — это, скорее всего, не «чья-то жена Поликарпа», а указание на место: выходец из села или деревни Поликары, Поликарское, Поликарки. Такие топонимы встречаются на западе России, в Беларуси и на Украине, где суффикс -ск- традиционно прикреплялся к названиям поселений. Мужской вариант — Поликарский.

Если же отталкиваться от имени, то основа — каноническое имя Поликарп (от греческого polykarpos — «многоплодный»). Но для фамилий на -ский это менее типично: обычно так образовывали фамилии дворянские, семинарские или «географические», а не просто от имени отца. Для прямого наследования по отцу чаще использовали -ов/-ев или -ин: Поликарпов, Поликарпин. Поэтому версия с топонимом выглядит убедительнее.

Обратите внимание на суффикс -ск-, который в русской ономастике часто указывал на принадлежность к месту или сословию. В XIX веке такие фамилии могли получить священники (семинарские фамилии, искусственно образованные от названий храмов или сёл) либо переселенцы, записанные по названию родной деревни. Если предки Поликарских жили в местности, где было село Поликары (например, в бывшей Витебской губернии), фамилия объясняется просто.

Интересно, что фамилия Поликарская встречается реже, чем Поликарпов, и почти не имеет распространённых вариантов. Это говорит о её локальном характере: носители, скорее всего, происходят из одного небольшого региона. В дореволюционных записях она могла фигурировать как Поликарская (с ударением на втором или третьем слоге — зависит от местного говора). Спорных версий здесь нет: либо географическое прозвище, либо редкая семинарская фамилия, но первое правдоподобнее из-за простоты и отсутствия натяжек.

Коротко: если вы Поликарская, ваши предки, вероятно, были крестьянами или мещанами из села с похожим названием, а не прямыми потомками Поликарпа. Фамилия хранит не имя, а малую родину.