Фамилия Полинхин — одна из тех, где корень почти стёрт временем, а суффикс сразу выдаёт географию. Суффикс -ин — классический признак русских фамилий, образованных от имён или прозвищ на -а/-я. Но здесь не просто Полин, а Полинхин: вставка -х- между корнем и суффиксом — характерная черта севернорусских и поморских говоров. Такая модель (основа на -а + -х- + -ин) встречается в фамилиях вроде Санхин (от Саня), Маняхин, Ванюхин. То есть Полинхин — это «чей?» — сын или потомок человека, которого в быту звали Полиня или Полинха.

Само имя Полиня — уменьшительная форма от канонического Аполлинарий (греч. «посвящённый Аполлону») или от Ипполит («распрягающий коней»). В народе эти имена часто сокращали до Поля, Полиня, а затем, по законам северного произношения, добавляли экспрессивный суффикс -х-: Полинха. Фамилия закрепилась в форме притяжательного прилагательного: Полинхин — «сын Полинхи».

Географически фамилия редкая и тяготеет к Русскому Северу, особенно к Архангельской области и бывшим поморским волостям. В переписных книгах XVII–XVIII веков такие фамилии фиксировались у крестьян и посадских людей — дворянских родов с окончанием на -ин из «неблагозвучного» ряда почти не бывает. Полинхины, скорее всего, были чёрносошными крестьянами или ремесленниками, жившими на землях, не принадлежавших помещикам.

Интересно, что фамилия Полинкин (от Полинка) встречается чаще, а Полинхин — более локальный вариант, с той самой «северной» вставкой. Если ваш предок носил её, он, вероятно, происходил из семьи, где имя Аполлинарий или Ипполит передавалось через поколение, а потом закрепилось в бытовом прозвище.