Фамилия Поливко звучит по-украински и почти наверняка связана с именем, а не с лейкой или ведром. В её основе лежит народная форма Полив крестильного имени Полиевкт, которое пришло из греческого и означает «долгожданный» или «желанный». Так что, скорее всего, родоначальник Поливко был желанным ребёнком — или носил имя в честь святого.

Имя Полиевкт было нередким в православной традиции: его носили раннехристианский мученик Полиевкт Мелитинский, а позже — Полиевкт, патриарх Константинопольский. В украинской среде полное церковное имя быстро сократили до простого и удобного Полив, а уже от него по обычной модели образовали фамилию с суффиксом -ко, который в украинском языке указывает на потомка: Поливко — буквально «сын Полива». Суффикс -ко один из самых продуктивных в украинской ономастике: так же появились Ивашко, Федько, Тишко и множество других фамилий.

Иногда фамилию пытаются связать с глаголом «поливать», выводя её от прозвища Полив, которое могли дать садовнику, поливавшему барские сады. Эта версия существует, но выглядит заметно слабее: слишком уж распространённой была именно имя-основа Полив, и слишком естественно она ложится в словообразовательную модель украинских фамилий. Если бы фамилия была профессиональной, мы бы ожидали скорее форму Поливальщик или Поливай, а Поливко чётко указывает на личное имя отца.

Интересно, что фамилия сохранила архаичную народную форму имени, которая в документах почти не встречалась: в метриках писали полное Полиевкт, а в быту человек оставался Поливом. Это типичная история для украинских фамилий, где живая речь оказывалась сильнее церковной книжности. Географически фамилия тяготеет к центральным и западным областям Украины, хотя точную карту расселения без специальных исследований не построить.

Если коротко: Поливко — это «сын Полива», а сам Полив — сокращение от Полиевкта, имени со значением «долгожданный». Простая и ясная история, которая уходит корнями в византийскую христианскую традицию и украинскую привычку сокращать длинные имена до домашних форм.