Фамилия Посяева — женская форма, мужская — Посяев. В её основе лежит прозвище или нецерковное имя Посяй. Такие имена на -яй (Посяй, Коряй, Моляй) в древнерусской традиции не редкость: суффикс -яй придавал слову уменьшительно-ласкательный или бытовой оттенок, нередко от глагольного корня. В данном случае корень, скорее всего, тот же, что в слове «посидеть» или «посеять». Но если отталкиваться от самого простого и частого объяснения — от глагола «посеять». Прозвище Посяй могли дать крестьянину, который занимался севом, или человеку, родившемуся во время посевной. В русских говорах «посей» — это и повелительное наклонение, и указание на занятие, так что фамилия могла закрепиться за земледельцем.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: Посяев — сын Посяя. Модель типичная для русских фамилий, особенно в южных и центральных регионах, где -ев после мягкого согласного или йота встречается чаще, чем -ов. Географически фамилия редкая, встречается в основном в Поволжье и на юге России — в Волгоградской, Ростовской областях. Встречается вариант Посяев с ударением на второй слог, но в большинстве говоров ударение падает на первый: По́сяев.

Менее вероятная, но возможная версия — от диалектного «пося» (уменьшительное от имени Поспей или Поспел). В ономастике известны случаи, когда полные христианские имена сокращали до коротких форм: Поспей → Пося. Но для фамилии Посяев эта гипотеза слабее, потому что форма Посяй прямо образована от глагольной основы, а не от канонического имени. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные глагольные прозвища разбираются как основа для многих фамилий, и Посяев вписывается в этот ряд.

Итак, если ваши предки носили фамилию Посяев, скорее всего, они были крестьянами-земледельцами, и прозвище родоначальника закрепилось за его потомками. Фамилия недворянская, не купеческая — из народной среды, где имя давали по делу, а не по родословной.