Фамилия Потапешкин — редкий случай, когда в основе лежит не имя, а прозвище, причём образованное с помощью нестандартного суффикса. Большинство фамилий на -кин образованы от имён или прозвищ на -ка (Федька → Федькин, Васька → Васькин). Здесь же суффикс -ешкин, который встречается редко и обычно указывает на уничижительную или шутливую форму. Основа — «Потапешка», то есть Потап, но не просто Потап, а с оттенком пренебрежения или ласки: эдакий «Потапушка», «Потапка».

Вероятнее всего, Потапешкой в крестьянской или мещанской среде называли человека по имени Потап. Само имя Потап — народная форма канонического имени Патапий (греч. «попечитель» или «путник»). Но суффикс -ешка в русских говорах мог прикрепляться и к прозвищам по занятию или поведению: например, «растяпешка» — неловкий человек. Поэтому нельзя исключать, что Потапешка — это прозвище, данное не по имени, а по какой-то внешней или характерной черте, которую уже не восстановить.

Ещё одна деталь: фамилия Потапешкин географически тяготеет к северо-западным и центральным областям России. В переписных книгах XVII–XVIII веков фамилии на -ешкин встречаются в основном в новгородских и псковских землях, где была распространена модель образования прозвищ с уменьшительно-пренебрежительными суффиксами. Если ваш предок был Потапешкиным, скорее всего, он происходил из среды вольных крестьян или посадских людей, а не из дворянства — такие фамилии редко закреплялись за высшими сословиями.

Схожие по модели фамилии — Потапушкин, Потапкин, но Потапешкин стоит особняком. Он не «потерял» имя, а скорее законсервировал ту самую бытовую, разговорную форму, которая в документах почти не фиксировалась. Это фамилия-свидетель живого языка, а не канцелярского учёта.