Фамилия Потиев образована от мужского имени Потий — одного из народных вариантов церковного имени Фотий. В переводе с греческого оно означает «светлый»: так в старину называли мальчиков в честь святых Фотиев, память которых церковь отмечает несколько раз в году. Имя Фотий в крестьянской и мещанской среде нередко упрощали до короткого Потий — так было проще произносить, и эта форма со временем закрепилась в документах.

Модель образования здесь классическая: к основе Потий добавили притяжательный суффикс -ев, который указывал на принадлежность. Первоначально Потиев означало «сын Потия» или «человек из рода Потия». Такой тип фамилий массово складывался в России в XVI–XVII веках, когда дети и внуки Ивана становились Ивановыми, а потомки Потия — Потиевыми.

Существует и вторая версия, менее распространённая, но имеющая право на жизнь: фамилия могла восходить к топониму Поти — так называется грузинский город-порт на Черноморском побережье. В XIX веке Поти входил в состав Кутаисской губернии Российской империи, и выходец оттуда мог получить прозвание Потий, а его дети уже стали Потиевыми. Однако эта гипотеза уязвима: если бы фамилия произошла от названия города, мы чаще встречали бы форму Потинский или Потийский, указывающую на территориальную принадлежность. Суффикс -ев в сочетании с личным именем выглядит более органично и исторически объяснимо.

Любопытно, что фамилия Потиев встречается заметно реже, чем её «полный» аналог Фотиев. Это объясняется тем, что краткая форма имени бытовала в основном в устной речи и простонародной среде, а в церковных метриках чаще записывали полное имя. Поэтому Потиевы — это, скорее всего, потомки тех, кто в быту звался Потием, а в официальных бумагах мог числиться и Фотием. Таким образом, при поиске предков стоит иметь в виду оба варианта написания.

Что касается географии, фамилия не имеет ярко выраженного регионального центра. Носители Потиевых рассеяны по разным областям России, что типично для фамилий, образованных от личных имён: они возникали независимо в разных местах. Если ваши предки носили эту фамилию, начать поиск стоит с исповедных росписей и ревизских сказок XVIII–XIX веков, где имя Потий могло писаться в разных вариациях — от Потей до Патий.