Фамилия Путко звучит коротко и на южный, украинско-белорусский лад. Её выдает суффикс -ко, один из самых распространенных в украинской ономастике. В XVI–XVII веках этот суффикс активно присоединяли к прозвищам и именам, образуя фамилии крестьян и казаков. Так что Путко — почти наверняка украинская или белорусская фамилия, а не великорусская.

Основа фамилии — Пут- — оставляет пространство для двух основных версий. Самая прямая: от слова «путь», «путник». В этом случае прозвище Путко мог получить странник, человек в дороге, или тот, кто жил при большой дороге, на перекрестке. Версия надежная и понятная: в славянской антропонимии прозвища по признаку «дорога, путь» встречаются повсеместно (сравните фамилии Путин, Путников, Дорожкин).

Вторая версия — от канонического имени Путята. Это древнерусское, еще дохристианское имя, которое встречается в летописях (например, воевода Путята, сподвижник князя Владимира). Имя Путята, в свою очередь, связывают с тем же корнем «путь» или с глаголом «путать». Уменьшительная форма Путко (Путко = Путя) естественна: от Путяты легко образовать Путко по той же модели, что от Ивана — Ивашко, от Петра — Петрусько. Менее вероятно, но возможно происхождение от прозвища «Путка» — так в некоторых говорах называли пупок или узел, но эта версия слабая и не подкреплена массовостью фамилии.

Географически фамилия Путко рассеяна по всей Украине, но заметно чаще встречается в западных областях — на Волыни, в Галиции, а также в Беларуси. В России она редка и, скорее всего, занесена переселенцами с Украины. Сословно это типичная крестьянская или казацкая фамилия: никаких дворянских родов Путко в «Бархатной книге» или «Общем гербовнике» не зафиксировано.

Интересная деталь: написание фамилии устойчиво, без вариантов вроде Пудко или Путков, что говорит о позднем оформлении — уже в XIX веке, когда фамилии закрепили в документах. Если ваш предок — Путко, то с высокой вероятностью он был украинским крестьянином, чье прозвище либо указывало на его занятие (путник, извозчик), либо происходило от старинного имени Путята.