Фамилия Пьяноы — редкий и сбивающий с толку случай. На первый взгляд она похожа на притяжательное прилагательное (чей? — Пьянов), но с падежным окончанием «-ы», которое обычно встречается в фамилиях на -их/-ых (типа Седых, Черных). Однако «Пьяноы» — это не вариант множественного числа, а скорее искажение или диалектная запись фамилии Пьянов.

Основа здесь очевидна: «пьян» — от слова пьяный. В русских фамилиях прозвища, образованные от прилагательных, часто давали по внешности, поведению или привычкам. Пьяным могли назвать человека, который злоупотреблял спиртным, но не обязательно — в народной речи «пьяный» иногда означало «весёлый», «буйный» или просто «неуравновешенный». В документах XVII–XVIII веков встречаются крестьяне и посадские с прозвищем Пьяной, от которого и пошла фамилия.

Суффикс «-ов» — стандартный патронимический для центра России: «чей? — Пьянов». Но в вашем варианте окончание «-ы» вместо «-ов» — это либо описка в записи (в метрических книгах писарь мог написать «Пьяноы» вместо «Пьянов», путая буквы «в» и «ы» на слух), либо севернорусский диалектный след. В некоторых говорах Архангельской и Вологодской губерний фамилии на «-ов» произносили с редуцированным окончанием, и на письме это отражалось как «-ы» или «-ой».

Географически фамилия Пьянов (и её редкая форма Пьяноы) встречается в Поволжье, на Урале и в Сибири — регионах, куда переселялись крестьяне из центральных областей. В переписях XIX века Пьяновы числились в основном среди государственных крестьян и мещан.

Спорных версий здесь две: либо вы держите в руках документ с ошибкой писаря, либо это уникальный диалектный вариант, сохранившийся в одной семье. Второе правдоподобнее, если фамилия передавалась по наследству именно в таком написании — тогда перед нами не испорченный Пьянов, а самостоятельная, хоть и малочисленная, фамилия Пьяноы.