Фамилия Радай — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Первое, что бросается в глаза, — это отсутствие типичного русского суффикса (-ов, -ин, -ский). Это сразу подсказывает, что перед нами не классическая крестьянская или дворянская фамилия, образованная по модели «чей сын?», а скорее всего, фамилия, застывшая в форме прозвища или пришедшая из другого языка.

Скорее всего, основа «Радай» восходит к глаголу «радеть» или существительному «рада» (забота, усердие, совет). В южнорусских и украинских говорах «рада» — это не только совет, но и забота, попечение. Человек, которого прозвали Радай, мог быть заботливым, рачительным хозяином, тем, кто «радеет» о семье или общине. Такая модель образования — от глагольной основы в повелительном наклонении («Радай» — «радей», «заботься») — встречается в украинской и белорусской антропонимии. Сравните с фамилиями типа Гуляй, Думай, Хватай — они часто закреплялись как прозвища, а затем передавались по наследству.

Вторая версия связана с географией. Фамилия Радай могла возникнуть у поляков или белорусов как производная от названия населённого пункта, например, Радаево или Радай (такие топонимы встречаются в Польше и на западе Беларуси). В этом случае суффикс -ай указывает на принадлежность к месту, а носитель фамилии — выходец из этих краёв. В пользу этой гипотезы говорит и то, что в старых польских гербовниках встречается шляхетская фамилия Radaj (герб Наленч и другие), хотя связь с русским «радеть» там неочевидна.

Третья, менее вероятная версия — от личного имени Радай как краткой формы славянских имён с корнем «рад» (Радимир, Радослав). В древнерусских грамотах такое имя не фиксируется как самостоятельное, но в качестве прозвища вполне могло бытовать.

Фамилия осталась редкой, потому что не вписалась в массовые модели фамилеобразования XIX века. Она не получила широкого распространения ни в центральной России, ни на юге, а встречается точечно — в основном в западных областях и среди потомков переселенцев. Сегодня носители фамилии Радай живут в России, Украине, Беларуси и Польше, и для каждого из них история рода начинается с одного из этих корней: либо с заботливого предка, которого так и звали — «радей», либо с деревни, откуда пошла фамилия.