Фамилия Радчина отвечает на вопрос «чей будете?» и образована от личного имени или прозвища Радча через притяжательный суффикс -ин. В русской традиции так называли детей и домочадцев: Радча → «Радчин сын» → Радчина. Поэтому первое, что стоит знать о фамилии, — она не дворянская и не географическая, а самая что ни на есть «патронимическая», то есть указывающая на отца или деда.

За основу здесь взято имя Радча — просторечная, обиходная форма церковного имени Радай. Само имя Радай — редкое, но встречающееся в святцах; оно связано с древнеславянским корнем «рад-», что значит «радость», «радеть», то есть заботиться, желать добра. В старину такие имена давали с пожеланием ребёнку быть отрадой для родителей, а в быту их сокращали до коротких ласковых форм: Радай превращался в Радчу, а тот, в свою очередь, давал начало фамилии.

Существует и вторая версия, которую ономасты держат в уме, но считают менее вероятной. Она возводит прозвище Радча к глаголу «радеть» — в старом значении «усердствовать, заботиться, печься о ком-то». Тогда прозвище Радча мог получить человек рачительный, старательный, радеющий о хозяйстве или о ближних. Однако против этой гипотезы говорит то, что прозвища от глаголов в форме «Радча» встречаются реже, чем сокращённые имена, и чаще имеют ласкательный оттенок. Правдоподобнее выглядит первая версия: в основе всё же лежит имя.

Родственными фамилиями здесь будут Радаев, Радин, Радченко, Радчук — все они выросли из того же корня «рад-» и его производных форм. Если ваши предки носили фамилию Радчина, скорее всего, они происходили из крестьянской или мещанской среды центральной России, где такие «уменьшительные» патронимы были обычным делом. Точную географию бытования фамилии установить сложно: она не привязана к одному региону, но чаще встречается там, где были распространены имена Радай и Радча, — в северных и центральных губерниях.

Итог простой: фамилия Радчина — это память о предке по имени Радча, которого так ласково называли домашние. Несмотря на кажущуюся редкость, она встроена в общий ряд русских фамилий от «радостных» имён и несёт в себе пожелание радости, которое когда-то вложили в имя её первого носителя.