Фамилия Радчинская — женская форма от Радчинский, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ский указывает на польское или западнорусское происхождение, а также на дворянский или шляхетский характер фамилии: именно так в Речи Посполитой оформлялись фамилии землевладельцев. В Российской империи этот суффикс часто закреплялся за семинаристами и духовенством, но в случае с Радчинскими версия с географической привязкой выглядит убедительнее.

Основа фамилии — Радча или Радч. Скорее всего, это не имя, а топоним: на картах Беларуси и Украины встречаются села Радча (например, в Житомирской области). Житель такого села получал прозвище Радчинец, а его потомки — фамилию Радчинский. В таком случае предки носительницы фамилии были выходцами из этого населённого пункта, возможно, крестьянами или мелкими шляхтичами, владевшими землей в окрестностях Радчи.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от имени Радко, уменьшительной формы от Радислав или Радомир. Имена с корнем рад- (радость, забота) были распространены у славян, но в этом случае фамилия должна была бы звучать как Радков или Радкевич, а не Радчинский. Суффикс -ин- в основе Радчин- указывает на принадлежность к чему-то: Радча — это либо река, либо урочище, либо уже упомянутое село. Поэтому географическая версия надёжнее.

Фамилия редкая, в основном бытует на западе России, в Беларуси и среди потомков польской шляхты, переселившихся на восток после разделов Речи Посполитой. Встречаются варианты написания Ратчинская (с т вместо д) — это следствие аканья или описок в метрических книгах, но корень остаётся тем же. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит проверить метрики по Волынской, Гродненской или Минской губерниям — там чаще всего фиксировали Радчинских.