Фамилия Радины — это отчество, образованное от древнего славянского имени Радай. Так в старину называли ребёнка, и имя это было не крестильным, а мирским, домашним. Родители вкладывали в него пожелание, чтобы жизнь дитяти была ладной и удачной, чтобы он был «рад» и «радостен». Поэтому и фамилия, по сути, — память о предке, которого звали Радай: его потомки становились «Радиными», то есть детьми, внуками и правнуками Радая.

Разбираем словообразовательную модель. Суффикс -ин в русских фамилиях указывает на принадлежность: чей? — Радин. Это краткая форма притяжательного прилагательного, отвечавшего на вопрос «чей сын?». Сравните с однокоренными фамилиями того же типа: Радищев (от Радиш, уменьшительной формы того же Радая), Радченко, Радкевич. Все они выросли из одного корня «рад-», но каждая ветвь закрепила свою форму имени. Любопытно, что фамилия Радин встречается и у русских, и у поляков, и у чехов — имя Радай было общеславянским, и в каждой языковой среде оно обрастало своими суффиксами.

Есть и вторая, менее вероятная версия происхождения. Некоторые исследователи возводят фамилию к глаголу «радеть», то есть заботиться, усердствовать, болеть душой за дело. Тогда прозвище Радя могли дать человеку старательному и рачительному. Но эта гипотеза выглядит натянутой: имя Радай в древнерусских и западнославянских источниках встречается гораздо чаще, чем прозвище от «радеть», поэтому основная версия — именно от имени — выглядит убедительнее.

О точном месте и времени возникновения фамилии говорить сложно: процесс формирования русских фамилий растянулся на несколько столетий, с XVI по XIX век, и в каждом регионе шёл по-своему. Где-то Радины появились раньше, где-то позже, но в любом случае эта фамилия — живой памятник славянской письменности и культуры, сохранивший для нас древнее имя, которое сегодня уже почти не встретишь в обиходе.