Фамилия Риман звучит для русского уха по-немецки, и это ожидаемо: её основа действительно немецкая, а вот история появления в России может быть разной. Чаще всего фамилию связывают с прозвищем, которое давали человеку по месту жительства. Первая часть прозвища восходит к средненижненемецкому слову ri(d)e — «поток» или «маленькая река». Вторая часть — это немецкое Man (Mann), то есть «человек, мужчина». Сложив части, получаем «человек у потока» или «житель у реки». Вполне вероятно, что предок носителя фамилии жил на берегу небольшой реки или ручья, и это обстоятельство закрепилось за ним как прозвище, а затем перешло в фамилию.

Впрочем, есть и другой путь, по которому фамилия могла попасть в русскую среду. Немецкие фамилии нередко приходили в Россию вместе с переселенцами, приглашёнными на службу или на освоение земель. Риман — фамилия достаточно распространённая в Германии, и её носители могли оказаться среди колонистов Поволжья, прибалтийских немцев или специалистов, приглашённых в петровскую эпоху. Поэтому в России фамилия бытует в разных регионах, но чаще всего её можно встретить там, где исторически селились немцы.

Словообразовательная модель здесь простая: сложение двух корней без суффикса, типичное для немецких фамилий. Такая модель не требует добавления русских окончаний, поэтому фамилия сохранила исходное написание и произношение. Это отличает её от множества русских фамилий, образованных с помощью суффиксов -ов, -ин или -ский.

Среди известных носителей фамилии — Георг Фридрих Бернхард Риман (1826–1866), немецкий математик, чьи работы заложили основы современной геометрии и анализа. Его имя знакомо каждому, кто изучал математику, — достаточно вспомнить риманову геометрию или дзета-функцию Римана.

Если говорить о русских носителях, то здесь фамилия нередко подвергалась адаптации: в документах XIX века встречаются варианты написания Римман, Рыман, а иногда и Рейман. Последний вариант, впрочем, может иметь и самостоятельное происхождение — от немецкого Reimann, что значит «человек из Рейма» или связано с именем Рейнхард. Так что при поиске предков стоит учитывать возможные искажения при записи фамилии чиновниками.

Итог простой: фамилия Риман — это немецкое прозвище по месту жительства, которое закрепилось как фамилия и пришло в русскую среду вместе с переселенцами. Она не имеет отношения к русским именам или прозвищам, а её корни лежат в нижненемецких диалектах, где слово ri(d)e обозначало реку или поток.