Фамилия Римчук — один из ярких примеров западной, скорее всего украинской или белорусской, модели образования фамилий. Её выдает суффикс -ук/-чук, который в этих землях был главным маркером принадлежности: он указывал на сына или ученика человека, названного в основе. То есть Римчук — это «сын Рима» или «человек из рода Рима».

Что скрывается за основой Рим? Тут возможны два пути, и оба ведут к личному имени. Первый и самый прямой: Рим — это народная, сокращенная форма крестильного имени Роман. В быту Романов часто звали Римом, Римкой, Римоном. Такой переход не редкость: от полного имени отсекали часть, а потом добавляли уменьшительный суффикс. Второй вариант — имя Рим могло быть самостоятельным прозвищем, но не от города, а от прилагательного «римский». В православных святцах есть мученик Рим, но имя это встречалось редко и, скорее всего, было вторичным по отношению к Роману.

Географически фамилия Римчук привязана к западу Украины и югу Беларуси. Именно там суффикс -чук особенно продуктивен, и именно там фамилии на -ук/-чук вытеснили великорусские -ов/-ев в крестьянской среде. Если ваш предок носил эту фамилию, он с высокой вероятностью был из крестьянского сословия Волыни, Подолья или Галиции — дворянство в тех краях предпочитало фамилии на -ский.

Стоит различать Римчука и похожую фамилию Рымчук. Вторая могла образоваться от диалектного «рым» — так в некоторых говорах называли хрипоту или кашель, и тогда прозвище Рым давали человеку с сиплым голосом. Но для Римчука такое объяснение менее вероятно: написание через «и» тянет к имени, а не к болезни. В любом случае, ономастический словарь Б. Унбегауна относит эту модель к числу древних и типичных для украинской антропонимии.