Фамилия Рогашко — характерный пример украинской или белорусской модели фамилии с уменьшительно-ласкательным суффиксом -к- и окончанием -о. В восточнославянской ономастике такие фамилии (на -ко, -енко, -ук) чаще всего формировались в юго-западных землях и означали либо «сын такого-то», либо «маленький, младший». В данном случае основа — прозвище или мирское имя Рог, Рогач.

Что могло лежать в основе? Самое прямое — прозвище Рог или Рогач. В древнерусском быту «рогач» — это не только животное с рогами (бык, козёл), но и ухват для чугунов в печи, а также человек с сильным, упрямым или «рогатым» (выступающим) характером. Прозвище могли дать пастуху, кузнецу, делавшему ухваты, или просто упрямцу. Уменьшительная форма Рогашко — «маленький Рогач» или «сын Рогача».

Есть и вторая, менее очевидная версия: от имени Рогволод (скандинавское Rogvolod, пришедшее на Русь с варягами). В народной речи имя могли сократить до Рог, Рога, а затем добавить суффикс -шк-, характерный для ласкательных форм (сравните: Павел — Павлуша, Павло — Павлушко). В таком случае Рогашко — потомок человека по имени Рог (или Рогволод).

Географически фамилия тяготеет к западным областям Украины (Волынь, Подолье) и югу Беларуси. В документах XIX века встречается среди крестьян и казаков — сословного барьера у неё не было. В современной России фамилия редкая, чаще встречается у потомков переселенцев с Украины.

Сравните с однокоренными: Рогов, Рогачёв, Рогожин — все они образованы от того же корня, но разными суффиксами. Рогашко стоит особняком: суффикс -шк- указывает на личное, почти семейное прозвище, а не на отчество отца. То есть предок, скорее всего, сам носил прозвище Рогаш, а его дети уже стали Рогашками.