Фамилия Савалина — это женская форма, а её основа — мужская фамилия Савалин. В русской традиции такие фамилии образовывались через притяжательный суффикс -ин, который отвечал на вопрос «чей?»: Савалин — значит «сын Савалы» или «человек из семьи Савалы». Савала — это некалендарное, то есть нецерковное, имя или прозвище.

Корень здесь — «савал-», и он ведёт нас к двум основным версиям. Первая: от тюркского слова «савал» — так в некоторых тюркских языках называли небольшой ковш, черпак или даже меру жидкости. Прозвище Савала могли дать человеку невысокого роста, плотного телосложения, либо тому, кто работал с посудой, например, бондарю или торговцу. Вторая версия связывает прозвище с глаголом «савать» (или «савить») — в некоторых русских говорах это означало «медлить, мешкать, копаться». Савалой тогда называли медлительного, неторопливого человека.

Интересная деталь: в отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто носили крестьяне центральных губерний, фамилии на -ин более характерны для севера и северо-востока Руси, а также для Поволжья. Именно там, в зоне активных контактов с тюркским населением, прозвище Савала могло прижиться особенно легко. Так что предки носителей фамилии Савалина с большой вероятностью жили в этих краях, и их родоначальник получил прозвище либо по занятию, либо по характеру.

В словарях русских фамилий эта фамилия встречается редко, что делает её ценной для семейной истории. Если ваши предки были из Вятской, Пермской или Нижегородской губернии — тюркская версия с «ковшом» становится почти очевидной. Если же из исконно русских областей — стоит присмотреться к диалектному глаголу «савать».