Фамилия Саванин — это классическая русская «патронимическая» фамилия, то есть образованная от личного имени предка. Корень здесь — Саваня, уменьшительная форма целой группы старых крестильных имён, начинающихся на Сав-. В бытовой речи эти имена сливались в одно ласковое прозвище, которое и закрепилось за родом.

Что именно означало имя Саваня, зависит от того, какое полное имя носил родоначальник. Вариантов несколько: Савва (с арамейского — «старец, дед»), Савватий (с древнееврейского — «суббота»), Савелий («испрошенный у Бога»), Саверий или Савин (от латинского «сабинянин»). В народе все они легко превращались в Саваню, поэтому точную этимологию для конкретной семьи без генеалогических изысканий не установить. Самая частая основа — всё же Савва, имя популярное в среде духовенства и крестьян.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Саванин буквально значит «сын Савани», «ребёнок Савани». Такая модель — одна из древнейших в русском языке, она закрепилась за фамилиями ещё в XV–XVII веках. Интересно, что форма Саваня встречается в старых писцовых книгах и как самостоятельное имя, а не только как сокращение: в некоторых говорах так звали Савельев, отделяя их от Савв.

Фамилия редкая, но показательная: она сохранила живую народную фонетику, где церковное Савва упростилось до бытового Саваня. Носители фамилии встречаются в основном в центральной России и Поволжье, что типично для имён, распространённых через церковные приходы. Если ваш предок носил фамилию Саванин, он почти наверняка происходил из крестьянской или мещанской среды, где такие сокращённые имена были нормой общения.