Фамилия Саварец — редкий случай, когда географическая привязка оказывается сильнее лингвистической. Скорее всего, перед нами фамилия украинского или белорусского происхождения, и ключ к ней — не в корне, а в суффиксе. Формант «-ец» в восточнославянских фамилиях часто указывает на уроженца какого-то места. Если основа «Савар» — это искажённое название населённого пункта (например, Саварка на Киевщине), то Саварец — это «тот, кто родом из Саварки». Версия спорная, но правдоподобная: фамилии на «-ец» в этой модели (как Бережанец, Мирогощанец) давали людям, которые ушли из родного села и получили прозвище по месту выхода.

Менее вероятно, но возможно, что в основе лежит личное имя Сава, сокращённая форма от Савватий или Савелий. Тогда «Саварец» могло быть уменьшительным или пренебрежительным прозвищем человека с таким именем. Однако для уменьшительных форм в украинском языке типичнее суффиксы «-ик», «-ко» (Савик, Савко), а «-ец» встречается реже и чаще всё же топонимичен.

Ещё один вариант — отглагольное прозвище. В южнорусских и украинских говорах «саварить» (от «савар» — жар, зной) могло означать «палить, жечь, делать что-то с жаром». В таком случае Саварец — человек горячий, вспыльчивый, или, наоборот, тот, кто занимался обжигом (горшечник, угольщик). Но эта версия слабее: слово «саварить» — диалектное и редкое, а фамилии от него почти не фиксируются.

С фамилией Саварец не связано никаких дворянских родов или массовых переселений. Она остаётся локальной, чаще всего встречается на западе Украины и в приграничных районах Беларуси. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать не в архивах помещиков, а в метрических книгах конкретного села — скорее всего, все Саварцы ведут род из одного небольшого хутора или деревни, название которой со временем стёрлось из памяти.