Фамилия Савостеева — вариант женской формы, а мужская, Савостеев, образована от имени или прозвища в основе. В отличие от многих фамилий на -ов/-ев, здесь не всё очевидно: корень «савост» не встречается в распространённых крестильных именах напрямую. Скорее всего, перед нами переделка канонического имени Савватий (в просторечии — Савостьян, Савостей). В русских говорах имя Савватий нередко сокращали до Савость, а дальше, по законам языковой экономии, отбрасывали конечный согласный, получая форму Савост. От неё и пошла фамилия: Савост → Савостеев (с суффиксом принадлежности -ев, указывающим на потомка человека по прозвищу Савост). Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным словом «савость» (упрямство, своенравие), однако документальных подтверждений такого прозвища в ономастических источниках нет, а имя Савватий даёт более естественную цепочку.

Географически фамилия Савостеев встречается в центральных и северных регионах России — в Вологодской, Архангельской, Костромской областях, где имя Савватий было в ходу у старообрядцев и крестьян. Интересная деталь: написание через «о» (Савостеев, а не Савастеев) указывает на аканье — в говорах, где безударное «а» произносили как «о», фамилию записывали на слух. Это типично для северных и среднерусских диалектов.

Социальный контекст: предки носителя фамилии, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми, а не дворянами — в родословных книгах Савостеевы не значатся. Фамилия не получила широкого распространения, но и не является редкой: в современных базах данных встречается несколько сотен носителей, преимущественно в России. Если ваш предок — Савостеев, то его имя-основа восходит к монашескому имени Савватий, которое носил, например, преподобный Савватий Соловецкий, основатель Соловецкого монастыря.

Коротко: фамилия Савостеева — это «внучка» или «дочь» человека, которого в быту звали Савост, а того, в свою очередь, — по церковному имени Савватий. Никакой тайны, только живая народная фонетика.