Фамилия Савости — редкий случай, когда географическая привязка оказывается важнее разбора корня. Она почти наверняка украинская или белорусская по происхождению, а не великорусская. Указание на это даёт суффикс -и: в русской традиции фамилии в форме родительного падежа множественного числа (типа Черных, Седых) заканчиваются на -их/-ых, а вот украинские и белорусские фамилии на -и (Савости, Галани, Ковали) — это застывшая форма множественного числа, означающая «из рода Савостей».

Основа фамилии — каноническое имя Савва. В русских святцах оно существует в двух вариантах: Савва (через двойное «в») и Савватий. В просторечии имя часто сокращали до Савость, Савостя, отсюда и пошла фамилия. То есть Савости — это буквально «потомки Савости» или «семья, где главу звали Савостя».

Модель образования прозрачна: от разговорной формы имени через суффикс принадлежности, но не через привычный -ов (Савостин), а через окончание множественного числа. Это указывает на то, что фамилия закрепилась в среде, где было принято называть семью по имени отца во множественном числе — типично для западнорусских земель, особенно для Правобережной Украины и юга Беларуси.

Интересная деталь: в польском языке существует фамилия Sawosty, и она могла возникнуть параллельно под влиянием католических святцев (святой Савва). Если ваши предки жили на территории бывшей Речи Посполитой, фамилия могла быть записана через «w» — Sawosti, а затем русифицирована в Савости.

Никакого ремесла или прозвища за фамилией не стоит — только имя. Социальный состав носителей, скорее всего, был крестьянским или мещанским, поскольку дворянские фамилии в этой части империи обычно оформлялись суффиксами -ский/-цкий.