Фамилия Савватьева — женская форма, а мужская, Савватьев, образована от имени или прозвища с помощью патронимического суффикса -ев. Основа здесь небесспорная: в церковном календаре есть имя Савватий, но двойное «т» в фамилии — результат народного произношения. В русской ономастике такие случаи называют «гиперизмом»: книжное написание через два согласных закрепилось под влиянием церковнославянской орфографии, хотя в быту имя произносили как Савватей или Савватий. Так что Савватьев — это «сын Савватия», а не самостоятельное прозвище.

Сам Савватий — имя греческого происхождения, от sabbaton (суббота, покой). В православной традиции оно связано с преподобным Савватием Соловецким, одним из основателей Соловецкого монастыря. Поэтому фамилия могла возникнуть у потомков человека, носившего это редкое монашеское имя в миру, или у крестьянина, которого в честь святого нарекли при крещении. Имя было нечастым, так что и носителей фамилии немного — она встречается в основном в северных и центральных губерниях, где почитали Соловецких чудотворцев.

Интересно, что в старых документах встречаются варианты написания: Савватеев, Савватев, Саватьев. Двойное «т» — признак канцелярской фиксации: писарь, сверяясь со святцами, мог вставить лишнюю букву, чтобы подчеркнуть «правильное» церковное происхождение. Сравните с фамилией Савватеев — она образована от той же основы, но с сохранением народного произношения. Савватьева, таким образом, фамилия книжная, «учёная» по происхождению, а не уличная.

Говорить о сословной принадлежности предков сложно: имя Савватий встречалось и у крестьян, и у священников, и у купцов. Но в целом фамилия редкая, и её носители — скорее всего, выходцы из среды, где грамотность и связь с церковной традицией были выше среднего. В современной России фамилия сохраняется, но её обладателей — единицы на регион.