Фамилия Савышев образована от нецерковного имени или прозвища Савыш. Это уменьшительно-ласкательная форма от имени Савва — древнееврейского по происхождению, означающего «старец, дед». В русской народной среде имя Савва было распространено, и от него возникали десятки производных форм: Савка, Савушка, Савватей, а также Савыш. Суффикс -ыш в данном случае типичен для обиходных, «домашних» имён (ср. Малыш, Голыш, Крепыш) и указывает на прозвищный характер основы.

Фамилия построена по стандартной модели: прозвище Савыш плюс притяжательный суффикс -ев, который в русской ономастике присоединялся к основам на мягкий согласный или шипящий. Таким образом, Савышев буквально означало «сын Савыша» или «человек из рода Савыша». По своему типу это типичная «патронимическая» фамилия, каких большинство в русском языке.

Интересная деталь: в отличие от более частотных Саввин (от полной формы имени) или Савкин (от Савка), Савышев встречается реже. Это говорит о том, что прозвище Савыш бытовало локально, скорее всего, в северных или центральных говорах. В словарях русских народных говоров слово «савыш» не зафиксировано как самостоятельное нарицательное, поэтому версия о происхождении от личного имени Савва остаётся основной. Альтернативная гипотеза — связь с диалектным глаголом «савить» (медлить, мешкать) — маловероятна, так как суффикс -ыш в таких случаях давал бы прозвище Савыш со значением «медлительный человек», но письменных подтверждений этому нет.

В дореволюционных переписях Савышевы встречаются преимущественно среди крестьян и мещан, особенно в Поволжье и на Урале. Фамилия не принадлежала к дворянским родам, что подтверждает её «простонародное» происхождение: предки носителя были, скорее всего, крестьянами или ремесленниками, получившими фамилию по имени отца или деда. Сейчас Савышевы живут в разных регионах России, но наибольшая концентрация — в Нижегородской и Кировской областях, что косвенно указывает на очаг возникновения фамилии в XVI–XVII веках.