Фамилия Ширгаева — женская форма, а её основа — мужская фамилия Ширгаев. Это типичная русская фамилия, образованная по патронимической модели с помощью суффикса -ев, который присоединяли к основам на мягкий согласный или на -й. В данном случае в основе лежит тюркское имя или прозвище Ширгай (или Ширга).

Корень «шир» в тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) означает «лев». Это слово пришло из персидского (шир) и широко использовалось в личных именах: Ширгали, Ширмухаммет, Ширбай. Имя Ширгай, скорее всего, сложное: первая часть — «шир» (лев), вторая — тюркский аффикс обладания или уменьшительности -гай/-кай. Таким образом, Ширгай можно перевести как «львёнок» или «подобный льву». В мусульманской среде Поволжья и Приуралья такие имена давали мальчикам, желая воспитать их смелыми и сильными.

Фамилия Ширгаев, а значит и Ширгаева, исторически бытует в регионах с татарским и башкирским населением — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области. Многие носители фамилии — потомки служилых татар или тептярей, которые в XVII-XIX веках переходили из сословия ясачных (плативших дань) в военное или крестьянское. Встречается фамилия и у русских, что объясняется ассимиляцией: при крещении тюркское имя могли оставить как фамильное прозвище, а затем оно закрепилось в документах.

С точки зрения словообразования, фамилия Ширгаева стоит в одном ряду с однокоренными, но более редкими вариантами: Ширгалин, Ширгазиев, Ширмаметов. Если ваш предок был Ширгаевым, он, скорее всего, происходил из среды волго-уральских татар или башкир, а его далёкий предок носил гордое прозвище, связанное со львом — символом силы и благородства в восточной культуре.