Фамилия Синкина почти наверняка образована от имени Синка — просторечной, обиходной формы церковного имени Семён (Симеон). В старину такие сокращённые имена были обычным делом: полное имя звучало торжественно, а в крестьянской и мещанской среде человека звали проще — Синка, Минька, Санька. Отчество Синкин, то есть «сын Синки», и закрепилось в фамилии. Женская форма Синкина — естественное продолжение той же родовой фамилии, которую носили и мужчины, и женщины.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: суффикс -ин указывает на принадлежность. В русских фамилиях этот суффикс встречается почти так же часто, как -ов/-ев, и обычно присоединялся к основам, оканчивающимся на -а или -я. Синка как раз подходит под это правило: Синкин сын, Синкина дочь. Такие фамилии часто возникали в северорусских и поволжских говорах, где отчества с -ин были особенно распространены.

Существует и альтернативная версия, но она заметно слабее. Согласно ей, прозвище Синка могло произойти от украинского слова «сiнки» — сени, нежилая пристройка, которая делила дом на две половины. Вряд ли человека так называли в честь части избы: прозвища обычно отражали внешность, характер, занятие или место жительства, но не архитектурную деталь. Более правдоподобно связать прозвище со словом «синий». Тогда Синкой могли звать синильщика — мастера, который красил ткань в синий цвет. Впрочем, и эта версия уступает основной: имя Синка как форма Семёна встречается в документах и говорах гораздо чаще, чем любое прозвище с таким корнем.

Если опираться на словарь Б. Унбегауна и работы по русской ономастике, фамилии, образованные от уменьшительных форм крестильных имён, составляют один из самых массовых пластов русской фамильной системы. Синкина здесь не исключение, а типичный пример. Родственные фамилии — Синкин, Синькин, Сенкин, Семёнов — все восходят к одному имени, но через разные его формы. Синькин, кстати, может путаться с Синкиным в написании, хотя по происхождению это разные фамилии: вторая форма чаще связана с прилагательным «синий».

Что касается географии, фамилия Синкина не привязана к одной области. Она встречается и в центральной России, и в Поволжье, и в Сибири — туда её разнесли переселенцы в XIX–XX веках. Конкретных известных носителей, о которых можно было бы рассказать подробно, в открытых источниках мало, поэтому сосредоточиться стоит на самом имени: Синка — это живое, тёплое имя, которое когда-то звало мальчика, а потом осталось в фамилии его потомков. Так что если вы ищете свои корни, начинать стоит с Семёна — прародителя, чьё имя сократилось до трёх букв, но сохранилось в веках.