Фамилия Сынкина — женская форма фамилии Сынкин, и её разговорный, почти патриархальный облик сразу указывает на основу: слово «сын». Но не спешите думать, что предок просто назывался «сыном». В русской ономастике фамилии на -ин образуются от основ, оканчивающихся на согласный или -а/-я, и Сынкин — не исключение. Это отчество второго порядка: от прозвища или имени Сынка, которое, в свою очередь, произошло от «сын» с уменьшительно-ласкательным суффиксом -к-.

Кем мог быть человек по прозвищу Сынка? В крестьянской среде так могли называть младшего сына, баловня или, наоборот, парня, который вел себя по-детски, оставался «сынком» даже в зрелом возрасте. В некоторых говорах «сынка» означало «приемыш» или «воспитанник» — не родной ребенок, но взятый в дом. Есть и другая, менее очевидная версия: в южнорусских и украинских диалектах «сынка» могло быть прозвищем от «сын» в значении «парень, молодец», без оттенка уменьшительности.

Ударение в фамилии, скорее всего, падает на первый слог — Сынкина, хотя в разговорной речи возможны варианты. Географически фамилия чаще встречается в центральных и южных областях России, а также в Поволжье, где была распространена модель образования фамилий от прозвищ с суффиксом -к-. В дореволюционных переписях Сынкины упоминаются среди крестьян и мещан, реже — среди купцов.

Сравните с однокоренными фамилиями: Сынов, Сыновьев, Сынников. Сынкин стоит особняком — суффикс -ин здесь не просто указывает на принадлежность («чей?»), а закрепляет прозвищную форму, что делает фамилию более «домашней» и конкретной. Если ваш предок был Сынка, то его имя звучало не как официальное отчество, а как уличное прозвище, которое потом стало родовым.