Фамилия Сокиринкий — редкий случай, когда написание сразу бросается в глаза. В ней нет типичного для русских фамилий суффикса -ов/-ев или -ин, зато есть -к- перед окончанием, что выдает её украинское или польское происхождение. Правильная форма — Сокиринский, а вариант «Сокиринкий» — это, скорее всего, результат упрощения на письме или диалектного произношения, когда «с» после «н» звучит мягче и на слух сливается.

Основа фамилии — топоним Сокиринцы или Сокирино. На Украине есть село Сокиринцы в Черниговской области, известное своим дворцово-парковым ансамблем. Жителей такого села называли сокиринцами, а выходца оттуда — Сокиринским. Модель образования типична для шляхетских и казацких фамилий: к названию места добавлялось -ский, что указывало на принадлежность к местности или владение ею. В польской традиции такой суффикс часто носили мелкие дворяне, но на украинских землях его могли получить и зажиточные крестьяне, и казаки, переселившиеся из другого поселения.

Корень «Сокир-» восходит к слову «сокира» — топор. Это не ремесленная фамилия (не «Сокирник», то есть тот, кто делает топоры), а именно прозвищная или топонимическая. Если бы предка прозвали Сокирой за характер или внешность (например, прямой, резкий человек), фамилия звучала бы как Сокирин или Сокиренко. Вариант на -ский однозначно привязан к месту: Сокиринский — это «тот, кто из Сокиринцев».

В дореволюционных метриках фамилия встречается в основном на территории бывшей Черниговской губернии и в соседних уездах Полтавщины. Носители её, судя по косвенным данным, относились к казацкому сословию или государственным крестьянам — дворянских родов с такой фамилией в официальных списках нет. В XX веке, с миграциями, фамилия рассеялась, но осталась редкой: в современных базах данных на всю Россию приходится не больше нескольких десятков записей.

Интересная деталь: в некоторых старых документах встречается написание «Сокыринский» через «ы» — это украинское произношение, которое при записи на русский лад дало путаницу. Если ваш предок писался именно как «Сокиринкий» — это, вероятно, местная особенность, когда окончание редуцировалось в живой речи, а писарь записывал на слух.