Фамилия Стегаева — женская форма, мужская — Стегаев. В основе лежит прозвище или мирское имя Стегай, которое образовали от глагола «стегать». Значений у этого слова несколько, и каждое могло дать начало фамилии.

Самое прямое — «хлестать, бить прутом, плетью». Стегаем в крестьянском быту могли назвать человека, который стегал лошадей, работал кнутом, например, возницу или пастуха. Но у глагола есть и переносный смысл: «стегать» — значит шить крупными стежками, наметывать ткань перед окончательной строчкой. В этом случае Стегаем прозвали портного или мастера по стеганым одеялам и кафтанам. Стеганая одежда была распространена на Руси, и специалист по ней получал прозвище по делу рук своих.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: Стегаев — сын или потомок Стегая. Фамилия фиксируется в центральных и южнорусских регионах, где были сильны традиции шитья и кожевенного ремесла. Встречаются однокоренные фамилии — Стегалин, Стеганцов, Стегалов, — но Стегаев звучит как прямая отсылка к действию, а не к предмету.

В некоторых говорах «стегать» означало также «быстро идти», «убегать», так что прозвище могло достаться торопливому или непоседливому человеку. Но ремесленная версия — самая устойчивая: в писцовых книгах XVII века упоминаются крестьяне и посадские люди с этим корнем, и почти всегда они связаны с шитьём или обработкой кожи. Если ваши предки носили фамилию Стегаевы, велика вероятность, что среди них были портные, скорняки или мастера по стеганым изделиям.