Фамилия Стежаев образована от прозвища или нецерковного имени Стежай. Основа этого слова — глагол «стегать» в одном из его старых значений. В диалектах и в исторической лексике «стегать» означало не только «бить, хлестать», но и «шить, прошивать стежками». Соответственно, Стежаем могли прозвать человека, занятого стёжкой — например, мастера, который стегает одеяла или верхнюю одежду, прошивая их ватной подкладкой. Это одно из возможных объяснений, и оно вполне укладывается в традицию русских фамилий от ремесла.

Менее очевидный, но тоже возможный вариант: прозвище Стежай могли дать человеку с резким, «стегающим» характером — говорливому, колкому на язык или вспыльчивому. В русских говорах слово «стегач» встречалось в значении «драчун», а «стежать» — «бить». Однако фамилия образована не с типичным для действия суффиксом, а с мягким -ай, который чаще давал прозвища по характеру или внешности (Лентяй, Горчай, Болтай). Поэтому версия с ремеслом выглядит предпочтительнее: прозвище могло быть нейтральным, профессиональным.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: Стежаев — буквально «сын Стежая». Это типичная модель для русских фамилий, особенно распространённых в северных и центральных губерниях, где прозвища на -ай были обычны. В письменных источниках фамилия встречается редко, что говорит о её локальном бытовании — скорее всего, в среде крестьянства или посадских людей.

Любопытно, что однокоренная фамилия Стежкин — от «стёжка» (дорожка, тропинка) — имеет совершенно другую семантику, хотя корень тот же. Стежаев же однозначно связан с действием, а не с предметом. Путаницы здесь быть не должно: ударение в фамилии падает на второй слог — Стежáев, что дополнительно закрепляет глагольную основу.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были ремесленниками, связанными с шитьём или обработкой тканей, либо людьми, получившими прозвище за бойкий нрав. Точнее сказать без генеалогического исследования сложно, но оба пути ведут к живой, бытовой истории русского человека.