Фамилия Строгих звучит как прилагательное в родительном падеже множественного числа. Это типичная «сибирская» или «северорусская» фамилия, образованная по модели на -их/-ых. В центральной России и на юге такие фамилии встречаются реже, а в старых русских поселениях за Уралом и на Русском Севере они — обычное дело. Вместо «Строгов» (чей? — Иванов) говорили «Строгих» (из семьи кого? — Строгих). Такая форма закреплялась за целым родом или домом, и дети уже наследовали её без изменений.

Основа фамилии — прилагательное «строгий». В прямом смысле слово означало «требовательный, суровый, взыскательный». В русских говорах у него были и другие оттенки: «строгий» могло значить «честный, неподкупный» или, наоборот, «сердитый, неприветливый». Прозвище Строгий давали человеку с соответствующим характером — либо начальнику, который не спускал провинностей, либо судье, либо просто угрюмому и серьёзному мужику. Не исключено, что прозвище могло быть ироническим — так дразнили человека мягкого, но пытавшегося казаться суровым.

Словообразовательная модель проста: полное прилагательное без уменьшительного или пренебрежительного суффикса. Это говорит о том, что прозвище было устойчивым и ёмким — его не смягчали и не укорачивали. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто образовывались от кратких форм (Строгой → Строгов), вариант Строгих сохранил исходную грамматическую конструкцию «из дома Строгих». По письменным источникам XVII–XVIII веков такие фамилии фиксировали в переписных книгах Сибири, Поморья и Вятки.

Споров о происхождении здесь почти нет: корень прозрачный, и альтернативные версии (например, от тюркского или финно-угорского слова) выглядят натяжкой. Фамилия чисто русская, описательная, и её носители вряд ли принадлежали к духовенству или дворянству — скорее к крестьянам, посадским людям или казакам. Строгих — одна из тех фамилий, по которой сразу можно предположить, откуда родом предки: если человек носит её, велика вероятность, что его корни на севере европейской части России или в Сибири.