Оно, скорее всего, берет начало от прилагательного «строгий» со значением «взыскательный, грозный». Так могли назвать сурового и требовательного человека. Возможно также, что прозвище Строгуш восходит к глаголу «строгать», то есть «срезать стружки, щепу с чего-либо». Так могли назвать того, кто занимался обработкой дерева, плотницким ремеслом и т.д.