Фамилия Строигих — редкий случай, когда написание подсказывает происхождение почти без вариантов. Форма на -их (а не на -ов или -ин) прямо указывает на северный или сибирский ареал бытования: такие фамилии характерны для Вологодской, Архангельской областей, а также для старообрядческих поселений Зауралья. В этой модели фамилия — это застывшая форма родительного падежа множественного числа: «из дома Строигих», то есть из семьи, где главу прозвали Строгий.

Основа здесь — прилагательное «строгий». Прозвище Строгий в старину давали человеку требовательному, суровому, не допускающему послаблений ни в работе, ни в быту. Это мог быть и мастер, который не прощал брака, и староста, и отец семейства, державший дом в ежовых рукавицах. В говорах слово «строгий» иногда произносили как «стройгий» — отсюда и написание с утраченным в литературном языке сочетанием «ой» вместо «о» (сравните: «долгий» — «долгой» в диалектах). Вариант Строигих закрепил именно такое произношение.

В отличие от фамилий Строгов или Строгин, которые встречаются шире, Строигих — почти исключительно семейное прозвание, не перешедшее в массовое крестьянское именование. Это значит, что предки носителя, скорее всего, жили компактной общиной или в глухой деревне, где фамилия передавалась по отцу без изменений. По сословной принадлежности — вероятнее всего, государственные или черносошные крестьяне Русского Севера, реже — однодворцы южных губерний, куда северные переселенцы приносили свои -их фамилии.

Спорных версий немного. Можно предположить связь с глаголом «строить», но тогда основа звучала бы как Строев- или Строителев-, а суффикс -их здесь нелогичен. Прозвище Строига (от «строить») в русских говорах не фиксируется, поэтому версия с «суровостью» остаётся основной.

Таким образом, фамилия Строигих — живое свидетельство северорусской диалектной фонетики и патриархального уклада, где внешняя строгость предка стала родовым знаком.