Фамилия Строинская — женская форма от Строинский, и её происхождение, скорее всего, связано с топонимом. Такие фамилии на -ский/-цкий в старину получали дворяне по названию своего поместья или выходцы из сёл и местечек, особенно в западных губерниях Российской империи и на территории современной Польши, Украины и Белоруссии. Исходное название поселения — Строино, Строин, Строя или что-то подобное — могло быть образовано от прозвища или нецерковного имени Строй, Строя.

Разбираем корень. «Строй» в древнерусском языке — это не только «порядок» или «военное построение», но и «устройство», «лад». В говорах «стройный» означало «статный, хороший». Прозвище Строй могли дать человеку ладному, аккуратному в делах или внешне статному. Встречается и другое значение: в некоторых регионах «строем» называли лес, годный для строительства, или даже самого плотника. Отсюда возможна и профессиональная подоплёка: предок Строинских мог жить в селении, названном по роду занятий жителей (например, заготовка строевого леса).

Стоит учесть, что фамилия Строинская — нечастая. В отличие от массовых Смирновых или Кузнецовых, она сохраняет чёткую географическую привязку. Если искать её корни, логичнее всего смотреть в сторону бывших земель Речи Посполитой, где фамилии на -ский были особенно распространены среди шляхты и мещан. Впрочем, в центральной России такой суффикс тоже встречался, но чаще у духовенства, которое получало фамилии от названий сёл, где служило.

Есть и более простая версия, без дворянского подтекста. В XIX веке при переписях крестьянам могли записать фамилию по названию деревни или урочища, где они жили. Если деревня называлась Строино, то её житель становился Строинским, а его жена или дочь — Строинской. Так что носительница фамилии может быть потомком крестьянина, получившего фамилию по месту жительства, а не по знатному роду.

Однокоренные фамилии — Строев, Строилов, Строяков — встречаются чаще, но все они восходят к одному и тому же корню «строй». Строинская — вариант, который явно прошёл через модель «от названия места», что делает её более редкой и локальной.