Фамилия Сырских — типичный пример «географической» фамилии на -ских/-цких, которые в XVII–XIX веках закреплялись за дворянами по названиям их поместий, а позже — за духовенством и крестьянами, переселявшимися из одного села в другое. Суффикс -ских указывает на принадлежность к местности: «Сырские» — значит «те, кто родом из Сырского». То есть предок носителя фамилии происходил из населённого пункта с названием Сырское, Сырск или Сыры.

Сам топоним Сырское мог возникнуть от речки Сырая (вода, ручей) или от слова «сыр» (в значении «влажный, мокрый» — так в диалектах называли болотистую, сырую низину). В русской ономастике известны сёла Сырское в Липецкой области (под Лебедянью) и в бывшей Рязанской губернии. Встречается и вариант Сырск — например, посёлок в Брянской области. Таким образом, фамилия Сырских почти наверняка указывает на конкретную географическую точку, а не на прозвище или профессию.

В отличие от фамилий на -ов/-ин, которые чаще встречаются у крестьян и мещан, фамилии на -ских/-цких в центральной России нередко носили священники (особенно после реформы духовных училищ в начале XIX века, когда семинаристам давали фамилии по названиям сёл их приходов). Однако Сырских могла закрепиться и за крепостными, которых в документах записывали по месту жительства — «из Сырских крестьян». Со временем форма родительного падежа множественного числа (от кого? — из Сырских) превратилась в неизменяемую фамилию.

Встречается фамилия преимущественно в Центральной России и Поволжье, особенно в Липецкой, Тамбовской и Рязанской областях — как раз там, где находятся исторические сёла с корнем «сыр-». Встречается и вариант Сырский (мужской род), но Сырских — форма, закрепившаяся за целым родом, что подчёркивает коллективное происхождение: «мы — Сырских, из тех мест».

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, их родословную стоит искать в документах переписей или клировых ведомостях одного из сёл с названием Сырское. Более точную версию даст только анализ местного говора и карт XVIII века — где именно стояла деревня, давшая начало фамилии.