Фамилия Тарнаев в своей основе имеет прозвище Тарнай, и споры о том, что оно означало, идут между двумя версиями. Первая связывает прозвище с украинским словом «тарница» — деревянное седло. Тогда Тарнаем называли либо мастера, который делал такие сёдла, либо торговца ими. Ремесло было ходовым, а прозвище, данное по занятию, легко закреплялось за человеком и переходило к его детям. Вторая версия ведёт родословную от названия города Тарнов в северной Галиции, что стоит на реке Дунаец. В этом случае основатель рода Тарнаевых был выходцем из тех мест, и фамилия указывала бы на его географическое происхождение.

Обе гипотезы имеют право на жизнь, но версия с прозвищем выглядит убедительнее. Дело в том, что прозвища по ремеслу — один из самых распространённых источников русских фамилий, а вот точная привязка к конкретному городу Тарнов требует дополнительных подтверждений, которых у нас нет. Слово «тарница» при этом бытовало именно в украинских говорах, что хорошо согласуется с южнорусским ареалом бытования фамилии.

Сам суффикс -ев в окончании указывает на притяжательную модель: Тарнаев — сын Тарная. Такой способ образования фамилий от личных прозвищ был типичен для восточнославянской традиции XVI–XVII веков. Если прозвище Тарнай действительно произошло от «тарницы», то человек, получивший его, скорее всего, жил в местности, где сёдла делали из дерева, а не из кожи и металла. Это характерно для Карпатского региона и Прикарпатья, где скотоводство и гужевой транспорт были основой хозяйства.

Родственные фамилии — Тарнаков, Тарнавский, Тарновский — тоже встречаются, но у них разные пути образования. Тарновский, например, почти наверняка происходит от названия того самого города Тарнов или от аналогичных топонимов. А вот Тарнаев тяготеет к прозвищной модели, что делает его более «личным» — фамилия отражает не место, а занятие конкретного человека.

В документах фамилия Тарнаев встречается преимущественно в Поволжье и на Урале, что типично для фамилий, которые принесли с собой переселенцы из западных и юго-западных губерний Российской империи в XVIII–XIX веках. Основатель рода мог уйти на новые земли в поисках лучшей доли, а прозвище или фамилия закрепились за его потомками уже на новом месте.

Если ваши предки носили фамилию Тарнаев, скорее всего, среди них были ремесленники, связанные с изготовлением конской упряжи, или же выходцы из Галиции. Точную версию можно проверить только по сохранившимся архивным записям, но обе трактовки дают фамилии живое и понятное происхождение.