Фамилия Теленихина — женская форма фамилии Теленихин, которая образована по самой редкой и яркой модели русских фамилий: с суффиксом -их- (в основе Телених-). В отличие от массовых -ов/-ев и -ин, фамилии на -их/-ых (Косых, Черных, Теленихин) характерны в основном для северных и центральных областей России, особенно для бывших владений Новгорода и Вятки. Они указывали на принадлежность к целому роду или дому: Теленихин — «из дома Телених», то есть потомок человека по прозвищу Теленок или Теленя.

Основа фамилии — прозвище Теленок (или уменьшительное Теленя). В русских говорах телёнком могли назвать не только ребёнка, но и взрослого человека — за наивность, кротость, медлительность или, наоборот, за бодливый нрав. В ономастических словарях (например, у Б. Унбегауна) модель «животное + -их/-ых» фиксируется как одна из древнейших, уходящая корнями в дофамильный период, когда прозвища передавались по наследству в неизменной форме.

Споров по поводу корня почти нет: версия с «теле́га» маловероятна, так как суффикс -их- не образует фамилий от названий предметов — он крепился к личным прозвищам и именам. Редкость фамилии объясняется тем, что модель на -ихин (а не просто -их) встречается ещё реже, чем обычные -их: это уже вторичное оформление, когда к основе на -их добавили фамильный суффикс -ин, чтобы «подогнать» фамилию под привычный склоняемый тип.

Сейчас фамилия Теленихина (и мужская Теленихин) встречается рассеянно, без ярко выраженного гнезда, что типично для фамилий, утративших связь с исходным селом. Если ваши предки носили её, скорее всего, они происходят из среды крестьян или посадских людей Севера или Вятки, где такие «домашние» прозвища держались дольше всего.