Фамилия Теренгина — женская форма, а мужская, Теренгин, образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от личного имени или прозвища с помощью суффикса -ин. Этот суффикс указывает на принадлежность: Теренгин буквально значит «сын Теренги» или «человек из рода Теренги». Основа здесь — Теренга, и вот с ней главная загадка.

Самое вероятное объяснение: Теренга — это производная форма от крестильного имени Терентий. В народной речи имена часто сокращали и переделывали: Терентий превращался в Тереню, Терёху, а на севере и в Поволжье — в Теренгу. Суффикс -енг(а) в русских прозвищах встречается нечасто, но он характерен для говоров, где любили растягивать и «утеплять» звучание имени. Так Терентий через Теренгу дал фамилию Теренгин. Если так, то предок носителя фамилии был крещён Терентием — имя греческое, означает «натирающий», «мнущий» (от латинского tero), но в быту за ним закрепилось просто «терпеливый» из-за созвучия с русским «терпеть».

Есть и вторая, менее распространённая версия. В некоторых говорах «теренга» — диалектное слово, означающее нечто грубое, неровное, возможно, связанное с терпугом (напильником) или тернием (колючкой). Однако в словарях такое значение не зафиксировано твёрдо, и связь с именем Терентий остаётся основной.

География фамилии подсказывает, что она не столичная: Теренгины чаще встречаются в Архангельской, Вологодской областях и в Поволжье — то есть в регионах, где сохранялись архаичные формы имён. Сословно это, скорее всего, крестьянская или мещанская фамилия: -ин — типичный суффикс для фамилий, возникших в среде, где отчество или прозвище отца просто присоединяли к имени. Дворянские фамилии редко образовывались от таких разговорных форм.

Коротко: Теренгина — это «дочь или жена потомка Терентия», причём Терентий в народе получил ласковое или просторечное прозвище Теренга. Фамилия редкая, но прозрачная по корню, если знать, как в русских деревнях перекраивали церковные имена.