Фамилия Теренько звучит как украинская, и это верная зацепка: её основа — народная форма крестильного имени Терентий. В старину на юге России и в Малороссии полное имя в быту часто укорачивали до Терень, а уже от этой короткой формы образовали фамилию с типичным украинским суффиксом -енко. Такой суффикс изначально означал «сын» или «потомок», поэтому Теренько буквально — «сын Терентия», «Терентьев».

Само имя Терентий пришло из греческого языка, и здесь есть две основные версии значения. По одной, оно связано с глаголом, означающим «молотить хлеб», то есть указывает на земледельческое занятие. По другой, более редкой трактовке, та же основа могла значить «растирающий краску» — возможно, речь о ремесленнике, готовившем красители. Какая версия ближе к истине, сказать трудно: обе восходят к одному корню, и в древности граница между земледелием и ремеслом была не такой чёткой, как сейчас.

Интересно, что фамилия Теренько сохранила именно разговорный, «домашний» вариант имени. В официальных документах предок мог записываться как Терентий, но в семье его звали Терень, и это прозвище закрепилось за детьми. Подобные фамилии на -енко особенно распространены на Левобережной Украине, в Черниговской, Полтавской и соседних областях, где такая модель образования фамилий была самой массовой. Встречается фамилия и в России, куда её принесли переселенцы с Украины.

От того же имени, но по другой словообразовательной модели, возникли фамилии Терентьев (русская, с суффиксом -ев) и Терентьевых (сибирская, с суффиксом -ых). Теренько стоит в этом ряду особняком: она сразу выдаёт украинское происхождение рода. Если ваш предок носил такую фамилию, скорее всего, он был выходцем из крестьянской или казацкой среды, где прозвищные имена вроде Терень были обычным делом. Сословных перегородок фамилия не отражает — её носили и рядовые казаки, и мещане, и крестьяне, а вот региональная привязка к Украине прослеживается довольно чётко.