Фамилия Терешкун звучит на украинский или белорусский лад — характерный суффикс -ун указывает на западнорусские или южнорусские земли, где такие окончания встречаются чаще, чем в северных и центральных областях. В основе лежит крестильное имя Терешко — народная, уменьшительная форма от Терентий (греческое «терентиос» — «назойливый», «докучающий»). В украинской и белорусской среде имена часто усекали и смягчали, добавляя суффиксы -к-, -шк-, а уже от них образовывали фамилии с помощью -ун.

Суффикс -ун в ономастике обычно передавал прозвищный оттенок: так называли человека по характерному действию или свойству (крикун, молчун, лисун). В фамилиях он нередко закреплялся за потомком человека с таким прозвищем. В случае Терешкун, скорее всего, фамилию получил сын или внук Терешка — «Терешков сын», где -ун выступил аналогом более привычного -енко или -ович. Подобная модель встречается в фамилиях Грицун (от Грицько), Павлюн (от Павлюк), Иванюн.

География фамилии сегодня сосредоточена на западе Украины и в приграничных районах Беларуси, реже — в южных областях России. Встречаемость невысокая, что говорит о локальном происхождении: фамилия могла закрепиться в одном-двух сёлах и не распространиться широко. В дореволюционных метриках носители Терешкун, как правило, относились к крестьянскому сословию или казакам, без дворянских корней.

Спорных версий у фамилии почти нет: корень прозрачный, и попытки связать её с тюркским «терек» (дерево) или с польским «teresz» (тереть) выглядят натяжкой. Гораздо убедительнее считать Терешкун типичным «отчеством» в местной словообразовательной форме: сначала было имя Терешко, потом прозвище Терешкун («Терешков человек»), а затем оно закрепилось как фамилия.