Фамилия Тереук — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Она не входит в число распространённых русских фамилий, а её звучание подсказывает, что корни стоит искать не в центральной России, а на южных или западных окраинах славянского мира.

Словообразовательная модель здесь — суффикс -ук, характерный прежде всего для украинской и белорусской ономастики. Этот суффикс обычно указывает на принадлежность или родство: «сын такого-то» или «человек, связанный с чем-то». Основа фамилии — Тере- — может восходить к нескольким источникам.

Самая вероятная версия: основа происходит от прозвища или имени Терех, которое является народной формой канонического имени Терентий (от латинского Terentius — «трущий», «мнущий», в переносном смысле — «упорный»). В украинской традиции имя Терех давало фамилии Терех, Терещенко, Терехов. Форма Тереук — это вариант с тем же суффиксом, что и в фамилиях Кравчук, Гончарук, Шевчук. То есть Тереук — буквально «сын Тереха» или «маленький Терех».

Менее вероятная, но возможная версия — связь с топонимом. В Западной Украине есть село Терек (например, в Закарпатье). Житель такого села мог получить прозвище Терек, а его потомок — фамилию Тереук. Однако в этом случае фамилия скорее закрепилась бы как Терецкий или Тереков, поэтому версия с личным именем выглядит убедительнее.

Географически фамилия сегодня встречается в основном на Украине и в южных областях России, куда переселялись украинские крестьяне в XVIII–XIX веках. Сословно носители фамилии, скорее всего, относились к крестьянам или казакам — именно в этих средах суффикс -ук был особенно продуктивен.

Интересная деталь: написание фамилии через е (а не через ё или и) говорит о том, что в исходном говоре гласный в корне произносился чётко, без редукции. Это дополнительно указывает на восточно-украинские или южнорусские диалекты, где «Терех» звучало без смягчения.