Фамилия Терловая — редкая и неочевидная. На слух она воспринимается как женская форма, но на самом деле это исходная, историческая форма фамилии, закрепившаяся за целым родом. В русской ономастике фамилии на -ой, -ая характерны для южных и западных регионов: в Курской, Воронежской, Орловской губерниях могли сказать не «Терлов», а «Терловой», и в документах записывали «Терловая» для всей семьи, независимо от пола. Так что перед нами не вариант женской фамилии от мужской «Терлов», а самостоятельная фамилия с окончанием прилагательного.

Корень здесь — «терл». Что он значит? Вероятнее всего, это искажённое или диалектное произношение слова «терло». В южнорусских говорах «терло» — это приспособление для молотьбы, каток, которым обмолачивали снопы. Человек, который делал такие катки или работал с ними, мог получить прозвище Терло. От него и пошла фамилия Терловой, а на письме — Терловая. Есть и другая версия: «терл» могло быть вариантом слова «терн» (колючий кустарник) — в некоторых говорах «р» заменяло «н». Тогда прозвище Терло давали колючему, неуживчивому человеку.

Встречается фамилия крайне редко. По переписям XIX века единичные случаи фиксируются на территории современной Белгородской и Воронежской областей — как раз в зоне бытования акающих говоров и фамилий на -ой. Сословно носители, скорее всего, были однодворцами или государственными крестьянами — не дворянами, не купцами.

Что ещё примечательно: фамилия Терловая не имеет аналогов с другими суффиксами (нет массовых «Терловых» или «Терлиных» в соседних губерниях). Это говорит о том, что прозвище Терло было локальным и не распространилось широко. Если вы носите эту фамилию — ваши предки жили довольно замкнутой общиной, возможно, в одном селе, и фамилия закрепилась за одной-двумя ветвями.