Фамилия Терляева — женская форма от Терляев, и в ней, на первый взгляд, всё прозрачно, но есть одна деталь, которая заставляет задуматься. Основа — «терл-», а суффикс «-ев» указывает на происхождение от прозвища или имени, оканчивавшегося на мягкий согласный или «-й». Мужская фамилия Терляев образована по патронимической модели: «чей?» — Терляев, то есть сын Терляя.

Главный вопрос — что такое «Терляй»? Самая вероятная версия отсылает к глаголу «терлять», который в русских говорах, особенно рязанских и тамбовских, означал «терять», «растерять», «тратить попусту». Прозвище Терляй могли дать человеку рассеянному, небережливому или, напротив, тому, кто постоянно что-то находил и «терлял» вещи. В ономастике такой тип прозвищ известен: от глагольных форм часто образовывались имена-обереги (чтобы человек не был таким на самом деле) или, наоборот, меткие характеристики.

Вторая, менее распространённая гипотеза связывает фамилию с тюркским корнем «терле» — «потеть», «трудиться». В таком случае Терляй могло быть прозвищем работящего человека. Эта версия имеет право на существование, учитывая активные контакты русских с тюркскими народами, но лингвистически она слабее: в русском языке нет прямых следов этого корня в фамилиях, а вот «терлять» — слово живое, диалектное.

Географически фамилия Терляев встречается в центральных областях России, особенно в Рязанской и Тамбовской губерниях, где глагол «терлять» был в ходу. Это косвенно подтверждает первую версию. В дореволюционных переписях Терляевы чаще всего числились крестьянами или мещанами, то есть фамилия не аристократическая, а народная, прозвищная.

Таким образом, если ваши предки — Терляевы, скорее всего, фамилия пошла от бытового прозвища Терляй, данного за особенность характера или поведения, и уходит корнями в южнорусские говоры.