Фамилия Терлюга — одна из тех, где в основе лежит не имя, а прозвище, и чтобы докопаться до её смысла, придётся заглянуть в словари украинского и южнорусских говоров. География фамилии подсказывает, что её корни — на западе и юге России, а также на Украине, где такие формы на -юга встречаются куда чаще, чем в северных областях.

Самый вероятный источник — слово «терлюга» (или «терлюк»), которое в украинском языке и в некоторых русских диалектах означало «терновник», «колючий кустарник», а также «плетень из тёрна». Прозвище Терлюга могли дать человеку колючему, неуживчивому по характеру, либо, наоборот, тому, кто жил у зарослей тёрна или занимался плетением изгородей. Вторая версия, менее популярная, но имеющая право на существование, связывает фамилию с глаголом «терлюкать» — в некоторых говорах так называли невнятную, бормочущую речь. Тогда Терлюга — это «бормотун», «говорящий неразборчиво». Третья гипотеза — от тюркского имени или прозвища с корнем «тер» (пот), но она слабее, так как суффикс -юга нехарактерен для тюркских заимствований в такой роли.

Словообразовательная модель проста: суффикс -юга, по данным ономастов (в частности, Б. Унбегауна), активно использовался в украинской и южнорусской антропонимии для образования прозвищ от прилагательных или существительных (ср. Беднюга, Злюга, Костюга). Такие прозвища часто имели оттенок экспрессии — либо ласкательный, либо уничижительный. В случае с Терлюгой, скорее всего, это была характеристика внешности или поведения, закреплённая за одним человеком, а затем перешедшая к его потомкам.

Встречается фамилия в основном на юге России (Краснодарский край, Ростовская область), в Белгородской и Воронежской областях, а также на востоке Украины. Сословного барьера у неё не было: Терлюги могли быть и крестьянами, и казаками, и мещанами. В документах XVIII–XIX веков фамилия фиксируется в ревизских сказках Слобожанщины и Новороссии, что подтверждает её связь с территорией, где смешивались украинские и русские диалекты.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Терновский, Терновой, Тернюк — показывает, что все они так или иначе восходят к «тёрну», но Терлюга выделяется именно экспрессивным, прозвищным суффиксом. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, первый Терлюга был человеком с непростым характером или жил в глухом, заросшем колючкой месте.